Teorema 2 (Compactificación por un punto de Alexandroff)

Enunciado

Sea $(X, T)$ un espacio topológico Hausdorff localmente compacto^[1] que no es compacto^[2].
Entonces existe un espacio topológico $(\tilde{X}, \tilde{T})$ Hausdorff compacto tal que $X$ es un subespacio de $\tilde{X}$ , $\tilde{X} ∖ X$ consiste en un solo punto^[3] y $\overset{―}{X} = \tilde{X}$ . El espacio $(\tilde{X}, \tilde{T})$ se llama la compactificación por un punto de $(X, T)$ .

Además, si ${\infty} = \tilde{X} ∖ X$ , entonces^[4]

\tilde{T} = T \cup {\tilde{X} ∖ C : con C compacto de X},

la topología relativa sobre $X = \tilde{X} ∖ {\infty}$ es justamente $T$ y $\overset{―}{X} = \tilde{X}$ .

Demostración

Primero, comprobamos que $\tilde{T}$ es una topología:

T1) Inmediato ya que $\emptyset \in T \subset \tilde{T}$ , a la vez que $\tilde{X} = \tilde{X} ∖ \emptyset \in \tilde{T}$ pues $\emptyset$ es compacto en $X$ .

T2) Examinamos cada parte por separado. Por un lado, la unión de solo abiertos de $T$ también será un abierto de $T$ . Por otro lado, tomando elementos de la segunda parte de la unión:

⋃_{i \in I} (\tilde{X} ∖ C_{i}) = \tilde{X} ∖ ⋂_{i \in I} C_{i}, con C_{i} compacto de X \forall i \in I .

Como cada $C_{i}$ es cerrado por la proposición 31.B y la intersección arbitraria de cerrados es cerrado, entonces, por estar contenido en un $C_{i_{0}}$ compacto y la proposición 31.A, dicha intersección también es un compacto.

Terminamos viendo que si $A \in T$ y $C$ es un compacto de $X$ , entonces la unión $A \cup (\tilde{X} ∖ C)$ es un abierto. Por definición, $A = X ∖ (X ∖ A)$ , por lo que ^[5]

A \cup (\tilde{X} ∖ C) = (X ∖ (X ∖ A)) \cup (\tilde{X} ∖ C) = \tilde{X} ∖ ((X ∖ A) \cap C) .

Con todo, aprovechando que $X$ es Hausdorff, se tiene el complementario de la intersección de dos cerrados, que será otro cerrado, en el compacto $C$ , por lo que $(X ∖ A) \cap C$ también es compacto y $A \cup (\tilde{X} ∖ C) \in \tilde{T}$ .

T3) De forma similar, la intersección finita de abiertos de $T$ será otro abierto de $T$ . Mientras que si $C_{1}, \dots, C_{n}$ son compactos de $X$ , se tiene que

(\tilde{X} ∖ C_{1}) \cap \dots \cap (\tilde{X} ∖ C_{n}) = \tilde{X} ∖ ⋃_{i = 1}^{n} C_{i}

es el complementario de un compacto, por ser la unión finita de compactos a su vez compacto.

Para terminar, tomamos $A \in T$ y $C$ compacto en $X$ , comprobando que la intersección es un abierto, ya que, de nuevo, $C$ también es cerrado al ser $X$ Hausdorff y su complementario es un abierto:

A \cap (\tilde{X} ∖ C) = A \cap (X ∖ C) \in T .

Este paso es posible pues ${\infty} \notin A$ , por lo que tampoco lo estará en la intersección.

Que la topología relativa sobre $X$ es $T$ se comprueba de forma inmediata. Obviamente la intersección de $\tilde{T}$ con $A \in T$ nos da abiertos de $X$ ; por otro lado, puesto que $C$ es cerrado, $(\tilde{X} ∖ C) \cap X = (X ∖ C) \cap X = X ∖ C$ , que es abierto^[6].

Asimismo, buscamos comprobar que ${\infty}$ está en la clausura de $X$ , lo que significa ver que cualquier entorno de ${\infty}$ corta a $X$ . Dichos entornos son precisamente de la forma $\tilde{X} ∖ C$ con $C$ compacto:

\overset{―}{X} = \tilde{X} ⟺ \infty \in \overset{―}{X} ⟺ (\tilde{X} ∖ C) \cap X \neq \emptyset ⟺ X \neq C,

lo cual es cierto pues por hipótesis $X$ no es compacto.

Resta ver que el espacio topológico $(\tilde{X}, \tilde{T})$ es compacto. Sea $A = {A_{i}}_{i \in I}$ un cubrimiento por abiertos de $\tilde{X}$ . Como $\infty \in \tilde{X}$ , se tiene que $\exists i_{0} \in I$ tal que $\infty \in A_{i_{0}} = \tilde{X} ∖ C_{i_{0}}$ , con $C_{i_{0}}$ compacto en $X$ , al ser un entorno de infinito. Al mismo tiempo, se aprecia que el resto de abiertos $\tilde{A} = {A_{i} \cap X}_{i \in I}$ cubrirá, en particular, a $C_{i_{0}}$ ^[7]. Puesto que $C_{i_{0}}$ es compacto, entonces existe un subcubrimiento finito $A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{1 n}}$ de $C_{i_{0}}$ . Como consecuencia, $A_{i_{0}}, A_{i_{1}}, \dots, A_{i_{n}}$ es un subcubrimiento finito, de $\tilde{X}$ y

A_{i_{0}} \cup (A_{i_{1}} \cup \dots \cup A_{i_{n}}) = (\tilde{X} ∖ C_{i_{0}}) \cup (A_{i_{1}} \cup \dots \cup A_{i_{n}}) \supset (\tilde{X} ∖ C_{i_{0}}) \cup C_{i_{0}} = \tilde{X}

Por último, verificamos que el espacio $(\tilde{X}, \tilde{T})$ es Hausdorff. En primer lugar, si $x, y \in X$ es trivial por ser $X$ Hausdorff y $T \subset \tilde{T}$ . En otro caso, tomamos los puntos $x \in X$ y $\infty \in \tilde{X}$ . Para que $\tilde{X}$ sea Hausdorff, buscamos un entorno $U \in E (x)$ en $T$ y un abierto $\tilde{X} ∖ C \in \tilde{T}$ , con $C$ compacto, tales que

U \cap (\tilde{X} ∖ C) = \emptyset ⟺ U \cap (X ∖ C) = \emptyset ⟺ U \subset C

En este punto, como por hipótesis $X$ es localmente compacto, en concreto, $U \subset C$ . $◼$

Ejemplo

La compactificación por un punto de $R^{n}$ es homeomorfa a $S^{n}$ .

Se usará para probar que la compactificación es Hausdorff únicamente. ↩︎
Seguiría siendo cierta la afirmación, excepto por la igualdad final: el punto añadido sería aislado. ↩︎
${\infty}$ en el caso de Alexandroff, como se menciona más abajo. ↩︎
Si $X$ no fuese Hausdorff, al definir la topología $\tilde{T}$ , se le uniría $\tilde{X} ∖ C$ con $C$ compacto pero también cerrado. Como por hipótesis lo es, por la Proposición 31.B, $C$ también será cerrado. ↩︎
Notar que al estar ya $\infty \in \tilde{X}$ , la unión no cambiará si la otra parte es $(X ∖ (X ∖ A))$ o bien $(\tilde{X} ∖ (X ∖ A))$ . ↩︎
Se ha usado el mismo argumento que antes, ya que ${\infty} \notin A$ . ↩︎
Pues se ha probado previamente que la topología inducida es precisamente $T$ . Entonces, al intersecar abiertos de $\tilde{X}$ con $X$ se consiguen abiertos de la topología relativa $T$ . Por otro lado, cubre a $C_{i_{0}}$ porque la familia es un cubrimiento de todo $\tilde{X}$ , por lo que si uno de sus abiertos no incluye a $C_{i_{0}}$ (como $A_{i_{0}}$ ), los otros lo harán. ↩︎